Τυπολόγιο Άλγεβρα Α Λυκείου

ΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Μαθηματικά Α΄ Λυκείου  ·  Αποδείξεις 6–19

📐 anexitilo.net

6

Να αποδείξετε ότι $|\alpha \cdot \beta| = |\alpha| \cdot |\beta|$, για κάθε $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

\[ |\alpha \cdot \beta| = |\alpha| \cdot |\beta|, \quad \forall\, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

Απόδειξη

Επειδή και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά:

\[ |\alpha \cdot \beta| = |\alpha| \cdot |\beta| \;\Leftrightarrow\; |\alpha \cdot \beta|^2 = \bigl(|\alpha| \cdot |\beta|\bigr)^2 \;\Leftrightarrow\; (\alpha\beta)^2 = |\alpha|^2 \cdot |\beta|^2 \;\Leftrightarrow\; \alpha^2\beta^2 = \alpha^2\beta^2, \]

που ισχύει.

$\blacksquare$

7

Να αποδείξετε ότι $|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|$, για κάθε $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

\[ |\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|, \quad \forall\, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

Απόδειξη

Επειδή και τα δύο μέλη είναι μη αρνητικοί αριθμοί, έχουμε διαδοχικά:

\[ |\alpha+\beta| \leq |\alpha|+|\beta| \;\Leftrightarrow\; |\alpha+\beta|^2 \leq \bigl(|\alpha|+|\beta|\bigr)^2 \] \[ \Leftrightarrow\; \alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2 \leq \alpha^2+2|\alpha\beta|+\beta^2 \;\Leftrightarrow\; \alpha\beta \leq |\alpha\beta|, \]

που ισχύει, αφού $x \leq |x|$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

$\blacksquare$

8

Να αποδείξετε ότι $\sqrt[\nu]{\alpha\beta} = \sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}$, για $\alpha,\beta \geq 0$ και $\nu \in \mathbb{N}^*$.

\[ \sqrt[\nu]{\alpha \cdot \beta} = \sqrt[\nu]{\alpha} \cdot \sqrt[\nu]{\beta}, \quad \alpha,\beta \geq 0,\; \nu \in \mathbb{N}^* \]

Απόδειξη

Έχουμε:

\[ \Bigl(\sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}\Bigr)^\nu = \Bigl(\sqrt[\nu]{\alpha}\Bigr)^\nu \cdot \Bigl(\sqrt[\nu]{\beta}\Bigr)^\nu = \alpha \cdot \beta, \]

οπότε το $\sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}$ είναι η $\nu$-οστή ρίζα του $\alpha\beta$, δηλαδή $\sqrt[\nu]{\alpha\beta} = \sqrt[\nu]{\alpha}\cdot\sqrt[\nu]{\beta}$.

$\blacksquare$

9

Να λύσετε την εξίσωση $\alpha x + \beta = 0$.

\[ \alpha x + \beta = 0 \]

Λύση \[ \alpha x + \beta = 0 \;\Leftrightarrow\; \alpha x = -\beta \]

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

• Αν $\alpha \neq 0$: τότε $x = -\dfrac{\beta}{\alpha}$. Η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση.
• Αν $\alpha = 0$: η εξίσωση γίνεται $0 = -\beta$:
  • Αν $\beta \neq 0$: αδύνατη (δεν έχει λύση).
  • Αν $\beta = 0$: ταυτότητα (ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$).

Συνθήκη	Αποτέλεσμα
$\alpha \neq 0$	Μοναδική λύση: $x = -\dfrac{\beta}{\alpha}$
$\alpha = 0,\; \beta \neq 0$	Αδύνατη
$\alpha = 0,\; \beta = 0$	Ταυτότητα

10

Να λύσετε την εξίσωση $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$, $\alpha \neq 0$.

\[ \alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0, \quad \alpha \neq 0 \]

Λύση

Διαιρούμε με $\alpha \neq 0$ και συμπληρώνουμε το τετράγωνο:

\[ x^2 + \frac{\beta}{\alpha}x + \frac{\gamma}{\alpha} = 0 \;\Leftrightarrow\; \left(x+\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2 = \frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha^2} \]

Θέτουμε διακρίνουσα $\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma$. Διακρίνουμε:

• $\Delta > 0$: Δύο άνισες πραγματικές ρίζες: \[ x_{1,2} = \frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \]
• $\Delta = 0$: Μία διπλή ρίζα: \[ x = -\frac{\beta}{2\alpha} \]
• $\Delta < 0$: Αδύνατη στο $\mathbb{R}$ (καμία πραγματική ρίζα).

Διακρίνουσα	Ρίζες
$\Delta > 0$	Δύο άνισες: $x_{1,2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$
$\Delta = 0$	Διπλή: $x = -\dfrac{\beta}{2\alpha}$
$\Delta < 0$	Αδύνατη στο $\mathbb{R}$

11

Τύποι Vieta: Άθροισμα και γινόμενο ριζών τετραγωνικής εξίσωσης.

\[ \alpha x^2+\beta x+\gamma=0,\; \alpha\neq 0 \;\text{ με ρίζες } x_1, x_2 \;\Rightarrow\; S = x_1+x_2 = -\frac{\beta}{\alpha}, \quad P = x_1 x_2 = \frac{\gamma}{\alpha} \]

Απόδειξη

Γνωρίζουμε ότι $x_1 = \dfrac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$ και $x_2 = \dfrac{-\beta-\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$. Άρα:

\[ x_1+x_2 = \frac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha}+\frac{-\beta-\sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \frac{-2\beta}{2\alpha} = -\frac{\beta}{\alpha} \] \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{(-\beta+\sqrt{\Delta})(-\beta-\sqrt{\Delta})}{4\alpha^2} = \frac{\beta^2-\Delta}{4\alpha^2} = \frac{4\alpha\gamma}{4\alpha^2} = \frac{\gamma}{\alpha} \]

$\blacksquare$

12

Να δείξετε ότι $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ γράφεται $x^2-Sx+P=0$ με τους τύπους Vieta.

\[ \alpha x^2+\beta x+\gamma=0 \;\xrightarrow{\text{Vieta}}\; x^2 - Sx + P = 0 \]

Απόδειξη

Διαιρούμε με $\alpha \neq 0$:

\[ x^2+\frac{\beta}{\alpha}x+\frac{\gamma}{\alpha}=0 \;\Leftrightarrow\; x^2 - \!\left(-\frac{\beta}{\alpha}\right)\!x+\frac{\gamma}{\alpha}=0 \;\Leftrightarrow\; x^2 - Sx + P = 0, \]

αφού $S=-\dfrac{\beta}{\alpha}$ και $P=\dfrac{\gamma}{\alpha}$.

$\blacksquare$

13

Να λύσετε τις ανισώσεις $\alpha x+\beta>0$ και $\alpha x+\beta<0$.

\[ \alpha x + \beta > 0 \qquad \text{και} \qquad \alpha x + \beta < 0 \]

Λύση \[ \alpha x+\beta>0 \;\Leftrightarrow\; \alpha x > -\beta \]

• Αν $\alpha>0$: $\;x > -\dfrac{\beta}{\alpha}$
• Αν $\alpha<0$: $\;x < -\dfrac{\beta}{\alpha}$  (αλλαγή φοράς)
• Αν $\alpha=0$: η ανίσωση γίνεται $\beta>0$:
  • $\beta>0$: αόριστη (ισχύει για κάθε $x$).
  • $\beta\leq 0$: αδύνατη.

Ομοίως αντιμετωπίζεται η $\alpha x+\beta<0$.

Συνθήκη	Λύση ($\alpha x+\beta>0$)
$\alpha>0$	$x>-\dfrac{\beta}{\alpha}$
$\alpha<0$	$x<-\dfrac{\beta}{\alpha}$
$\alpha=0,\;\beta>0$	Αόριστη
$\alpha=0,\;\beta\leq 0$	Αδύνατη

14

Παραγοντοποίηση τριωνύμου $f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$, $\alpha\neq 0$.

α) $\Delta>0$: $\;\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha(x-x_1)(x-x_2)$

β) $\Delta=0$: $\;\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha\!\left(x+\dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^{\!2}$

γ) $\Delta<0$: $\;\alpha x^2+\beta x+\gamma=\alpha\!\left[\!\left(x+\dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^{\!2}+\dfrac{|\Delta|}{4\alpha^2}\right]$

Απόδειξη

Συμπληρώνουμε το τετράγωνο:

\[ \alpha x^2+\beta x+\gamma = \alpha\!\left[\left(x+\frac{\beta}{2\alpha}\right)^{\!2} - \frac{\Delta}{4\alpha^2}\right] \]

α) $\Delta>0$: Τότε $\Delta=(\sqrt{\Delta})^2$, οπότε:

\[ = \alpha\!\left(x+\frac{\beta}{2\alpha}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2\alpha}\right)\!\left(x+\frac{\beta}{2\alpha}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2\alpha}\right) = \alpha(x-x_1)(x-x_2) \]

όπου $x_1=\dfrac{-\beta+\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$, $\;x_2=\dfrac{-\beta-\sqrt{\Delta}}{2\alpha}$.

β) $\Delta=0$:

\[ \alpha x^2+\beta x+\gamma = \alpha\!\left(x+\frac{\beta}{2\alpha}\right)^{\!2} \]

γ) $\Delta<0$: Τότε $|\Delta|=-\Delta$, οπότε:

\[ \alpha x^2+\beta x+\gamma = \alpha\!\left[\left(x+\frac{\beta}{2\alpha}\right)^{\!2}+\frac{|\Delta|}{4\alpha^2}\right] \]

$\blacksquare$

15

Πρόσημο τριωνύμου $\alpha x^2+\beta x+\gamma$, $\alpha\neq 0$.

Να αποδείξετε ότι το τριώνυμο $f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ γίνεται:

α) Ετερόσημο του $\alpha$, μόνο όταν $\Delta>0$ και για $x_1 < x < x_2$.

β) Μηδέν, όταν $x=x_1$ ή $x=x_2$.

γ) Ομόσημο του $\alpha$ σε κάθε άλλη περίπτωση.

Απόδειξη

Περίπτωση $\Delta>0$. Ισχύει $f(x)=\alpha(x-x_1)(x-x_2)$, με $x_1<x_2$.

• $x<x_1$: $(x-x_1)<0$ και $(x-x_2)<0$ $\Rightarrow$ γινόμενο $>0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ ομόσημο του $\alpha$.
• $x_1<x<x_2$: $(x-x_1)>0$ και $(x-x_2)<0$ $\Rightarrow$ γινόμενο $<0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ ετερόσημο του $\alpha$.
• $x>x_2$: $(x-x_1)>0$ και $(x-x_2)>0$ $\Rightarrow$ γινόμενο $>0$ $\Rightarrow$ $f(x)$ ομόσημο του $\alpha$.
• $x=x_1$ ή $x=x_2$: $f(x)=0$.

Περίπτωση $\Delta=0$. $f(x)=\alpha\!\left(x+\dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^2$. Το τετράγωνο είναι πάντα $\geq 0$, άρα $f(x)$ είναι παντού ομόσημο του $\alpha$ (μηδενίζεται μόνο για $x=-\dfrac{\beta}{2\alpha}$).

Περίπτωση $\Delta<0$. $f(x)=\alpha\!\left[\left(x+\dfrac{\beta}{2\alpha}\right)^2+\dfrac{|\Delta|}{4\alpha^2}\right]$. Η αγκύλη είναι πάντα θετική, άρα $f(x)$ είναι παντού ομόσημο του $\alpha$.

	$x < x_1$	$x_1 < x < x_2$	$x > x_2$
$f(x)$	ομόσημο $\alpha$	ετερόσημο $\alpha$	ομόσημο $\alpha$

$\blacksquare$

16

Γενικός όρος αριθμητικής προόδου: $a_\nu = a_1 + (\nu-1)\,\omega$.

\[ a_\nu = a_1 + (\nu-1)\,\omega \]

Απόδειξη

Από τον ορισμό $a_{\nu+1}=a_\nu+\omega$ γράφουμε διαδοχικά:

$a_2 = a_1 + \omega$

$a_3 = a_2 + \omega$

$a_4 = a_3 + \omega$

$\quad\vdots$

$a_\nu = a_{\nu-1} + \omega$

Προσθέτοντας κατά μέλη και με τηλεσκοπική διαγραφή:

\[ a_\nu = a_1 + \underbrace{\omega+\omega+\cdots+\omega}_{(\nu-1)\;\text{φορές}} = a_1 + (\nu-1)\,\omega \]

$\blacksquare$

17

Οι $\alpha,\beta,\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι Α.Π. $\Leftrightarrow$ $\alpha+\gamma=2\beta$.

\[ \alpha,\beta,\gamma \;\text{διαδοχικοί όροι Α.Π.} \;\Longleftrightarrow\; \alpha+\gamma=2\beta \]

Απόδειξη

($\Rightarrow$) Αν $\beta-\alpha=\omega$ και $\gamma-\beta=\omega$, τότε $\beta-\alpha=\gamma-\beta$, άρα $\alpha+\gamma=2\beta$.

($\Leftarrow$) Αν $\alpha+\gamma=2\beta$, τότε $\beta-\alpha=\gamma-\beta$, δηλαδή οι $\alpha,\beta,\gamma$ έχουν κοινή διαφορά, άρα είναι διαδοχικοί όροι Α.Π.

$\blacksquare$

18

Γενικός όρος γεωμετρικής προόδου: $a_\nu = a_1 \cdot \lambda^{\nu-1}$.

\[ a_\nu = a_1 \cdot \lambda^{\nu-1} \]

Απόδειξη

Από τον ορισμό $a_{\nu+1}=a_\nu\cdot\lambda$ γράφουμε διαδοχικά:

$a_2 = a_1 \cdot \lambda$

$a_3 = a_2 \cdot \lambda$

$a_4 = a_3 \cdot \lambda$

$\quad\vdots$

$a_\nu = a_{\nu-1} \cdot \lambda$

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη και με τηλεσκοπική διαγραφή:

\[ a_\nu = a_1 \cdot \underbrace{\lambda\cdot\lambda\cdots\lambda}_{(\nu-1)\;\text{φορές}} = a_1 \cdot \lambda^{\nu-1} \]

$\blacksquare$

19

Οι $\alpha,\beta,\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π. $\Leftrightarrow$ $\beta^2=\alpha\gamma$.

\[ \alpha,\beta,\gamma \;\text{διαδοχικοί όροι Γ.Π.} \;\Longleftrightarrow\; \beta^2 = \alpha\gamma \]

Απόδειξη

($\Rightarrow$) Αν $\dfrac{\beta}{\alpha}=\lambda$ και $\dfrac{\gamma}{\beta}=\lambda$, τότε $\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\gamma}{\beta}$, άρα $\beta^2=\alpha\gamma$.

($\Leftarrow$) Αν $\beta^2=\alpha\gamma$, τότε $\dfrac{\beta}{\alpha}=\dfrac{\gamma}{\beta}$, δηλαδή οι $\alpha,\beta,\gamma$ έχουν κοινό λόγο, άρα είναι διαδοχικοί όροι Γ.Π.

$\blacksquare$

Μαθηματική Ομάδα  ·  anexitilo.net