Αποσύνθεση Συνάρτησης

Μαθηματική Ομάδα · anexitilo.net

Εύρεση συνάρτησης από τη σύνθεσή της

Άσκηση Δίνεται ότι \[ (f\circ g)(x) = 3e^{2x} + x + 1 \quad \text{και} \quad g(x) = e^{x} + 2 . \] Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \(f\).

Λύση

Θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση \(f(x)\), γνωρίζοντας τη σύνθεσή της με την \(g\). Η μέθοδος είναι να θέσουμε μια νέα μεταβλητή \(u = g(x)\), να εκφράσουμε το \(x\) συναρτήσει του \(u\), και στη συνέχεια να αντικαταστήσουμε στην έκφραση του \(f(g(x))\).

1

Θέτουμε νέα μεταβλητή

Θέτουμε

\[ u = g(x) = e^{x} + 2 \ \Rightarrow\ e^{x} = u - 2 . \]

Επειδή \(e^{x} > 0\) για κάθε \(x\), έχουμε \(u > 2\).

2

Λύνουμε ως προς x

Παίρνοντας λογάριθμο στα δύο μέλη της σχέσης \(e^{x} = u-2\):

\[ x = \ln(u-2) . \]

3

Εκφράζουμε το f(g(x)) συναρτήσει του u

Από την εκφώνηση έχουμε \(f(g(x)) = 3e^{2x} + x + 1\). Επειδή \(e^{x} = u-2\), προκύπτει

\[ e^{2x} = \left(e^{x}\right)^2 = (u-2)^2 . \]

Άρα, αντικαθιστώντας \(e^{2x}\) και \(x = \ln(u-2)\):

\[ f(u) = 3(u-2)^2 + \ln(u-2) + 1 . \]

4

Αντικαθιστούμε το u με x

Μετονομάζοντας τη μεταβλητή \(u\) σε \(x\), προκύπτει ο τύπος της \(f\):

\[ f(x) = 3(x-2)^2 + \ln(x-2) + 1, \qquad x > 2 . \]

---

Έλεγχος

Επαληθεύουμε αντικαθιστώντας \(x \to e^{x}+2\) στον τύπο της \(f\):

\[ \begin{aligned} f(e^{x}+2) &= 3\left(e^{x}+2-2\right)^2 + \ln\left(e^{x}+2-2\right) + 1 \\ &= 3\left(e^{x}\right)^2 + \ln\left(e^{x}\right) + 1 \\ &= 3e^{2x} + x + 1 = (f\circ g)(x)\ \ \color{#5b7038}{\checkmark} \end{aligned} \]

Η σχέση επαληθεύεται, άρα ο τύπος είναι σωστός.

Τελική Απάντηση

\[ f(x) = 3(x-2)^2 + \ln(x-2) + 1, \qquad x > 2 \]