Ορισμός και παράδειγμα Γνησίως Μονότονης Συνάρτησης

Λυμένο Παράδειγμα · Μονοτονία Συνάρτησης

Λύνουμε με τον Ορισμό

Απόδειξη γνησίως αύξουσας συνάρτησης χωρίς χρήση παραγώγου

Υπενθύμιση Ορισμού

Μια συνάρτηση \( f \) λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \( \Delta \) του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε \( x_1, x_2 \in \Delta \) με \( x_1 < x_2 \), ισχύει:

\[ f(x_1) < f(x_2) \]

Εκφώνηση. Να αποδείξετε, με τη χρήση του ορισμού, ότι η συνάρτηση \( f(x) = 2\ln(x-2) - 1 \) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.

1

Εύρεση πεδίου ορισμού

Για να ορίζεται ο λογάριθμος, πρέπει η ποσότητα μέσα σε αυτόν να είναι θετική:

\[ x - 2 > 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x > 2 \]

Άρα το πεδίο ορισμού της \( f \) είναι:

\[ D_f = (2, +\infty) \]

---

2

Απόδειξη με τον ορισμό

Έστω \( x_1, x_2 \in (2, +\infty) \) με \( x_1 < x_2 \). Θα δείξουμε ότι \( f(x_1) < f(x_2) \).

1 Αφαιρούμε το 2 από τα δύο μέλη της ανισότητας:

\( x_1 < x_2 \;\Longrightarrow\; x_1 - 2 < x_2 - 2 \) (1)

2 Επειδή \( x_1 - 2 > 0 \) και \( x_2 - 2 > 0 \), και η συνάρτηση \( \ln x \) είναι γνησίως αύξουσα στο \( (0, +\infty) \), παίρνουμε λογάριθμο και τα δύο μέλη:

\( \ln(x_1 - 2) < \ln(x_2 - 2) \) (2)

3 Πολλαπλασιάζουμε με 2 (θετικός αριθμός — η φορά της ανισότητας διατηρείται):

\( 2\ln(x_1 - 2) < 2\ln(x_2 - 2) \) (3)

4 Αφαιρούμε το 1 από τα δύο μέλη:

\( 2\ln(x_1 - 2) - 1 < 2\ln(x_2 - 2) - 1 \) (4)

↓

\[ f(x_1) < f(x_2) \]

---

3

Συμπέρασμα

Δείξαμε ότι για κάθε \( x_1, x_2 \in (2, +\infty) \) με \( x_1 < x_2 \) ισχύει \( f(x_1) < f(x_2) \). Άρα, σύμφωνα με τον ορισμό, η συνάρτηση

\[ f(x) = 2\ln(x-2) - 1 \]

είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα \( (2, +\infty) \).

Όσο μεγαλώνει το \( x \) στο \( (2, +\infty) \), τόσο αυξάνεται και η τιμή \( f(x) \).

---

4

Υπάρχει φθίνον διάστημα;

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της \( (2, +\infty) \). Επομένως, δεν υπάρχει κανένα υποδιάστημα του πεδίου ορισμού στο οποίο η \( f \) να είναι γνησίως φθίνουσα.

Τελικό Αποτέλεσμα

Η συνάρτηση \( f(x) = 2\ln(x-2) - 1 \) είναι γνησίως αύξουσα στο \( (2, +\infty) \) και δεν είναι γνησίως φθίνουσα σε κανένα διάστημα του πεδίου ορισμού της.

anexitilo.net  ·  Μαθηματική Ομάδα