Θεωρία Συναρτήσεων

Σύνθεση Συναρτήσεων

Πώς συνδυάζουμε δύο συναρτήσεις σε μία, και πώς προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού της.

§1 Ορισμός

Αν \(f, g\) είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού \(A\) και \(B\) αντίστοιχα, ονομάζουμε σύνθεση της \(f\) με την \(g\), και τη συμβολίζουμε \(f \circ g\), τη συνάρτηση με τύπο:

Ορισμός

\((f\circ g)(x) = f(g(x))\)

Με λόγια: πρώτα εφαρμόζουμε τη \(g\) στο \(x\), και στη συνέχεια εφαρμόζουμε την \(f\) στο αποτέλεσμα \(g(x)\).

Σχήμα 1 — Η σύνθεση \(f\circ g\) ως διαδοχική εφαρμογή των \(g\) και \(f\).

§2 Παράδειγμα

Παράδειγμα 1

Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x) = \ln x\), με \(x>0\), και \(g(x) = \dfrac{x}{1-x}\), με \(x \neq 1\). Να βρείτε τον τύπο και το πεδίο ορισμού της \(f\circ g\).

Εύρεση του πεδίου ορισμού — χρησιμοποιούμε τον γενικό τύπο:

\(D_{f\circ g} = \{x \in D_g \ : \ g(x)\in D_f\}\)

\(= \left\{x \neq 1 \ : \ \dfrac{x}{1-x} > 0\right\}\)

Το κλάσμα \(\dfrac{x}{1-x}\) είναι θετικό όταν αριθμητής και παρονομαστής έχουν το ίδιο πρόσημο:

• \(x>0\) και \(1-x>0 \Rightarrow 0
• \(x<0\) και \(1-x<0 \Rightarrow x<0\) και \(x>1\) (αδύνατο ταυτόχρονα)

Άρα η ανίσωση ισχύει για \(0

\(D_{f\circ g} = (0,1)\)

Εύρεση του τύπου — αντικαθιστούμε το \(g(x)\) στη θέση του \(x\) στην \(f\):

\(f\circ g(x) = f(g(x)) = f\!\left(\dfrac{x}{1-x}\right) = \ln\!\left(\dfrac{x}{1-x}\right)\)

---