Ίσες συναρτήσεις

ΟΡΙΣΜΟΣ

Δύο συναρτήσεις \(f\) και \(g\) λέγονται ίσες όταν:

• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
• για κάθε x ∈ Α ισχύει f(x) = g(x).

🙂

Άρα για να είναι δύο συναρτήσεις ίσες…

🤔

…πρέπει πρώτα να έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και μετά να δίνουν τις ίδιες τιμές για κάθε x!

Με λίγα λόγια:
Ίδιο πεδίο ορισμού

+

ίδιες τιμές για κάθε x

⭐

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Έστω οι συναρτήσεις:

\( f(x) = x - \ln(1+e^x) \)

\( g(x) = \ln\!\left(\dfrac{e^x}{1+e^x}\right) \)

👍

Ωραίο παράδειγμα! Ας δούμε αν είναι ίσες!

1. Πεδίο ορισμού

Για την \(f(x)=x-\ln(1+e^x)\): χρειάζεται \(1+e^x>0\). Επειδή \(e^x>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), έχουμε \(1+e^x>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Άρα \( D_f = \mathbb{R} \)

Για την \(g(x)=\ln\!\left(\dfrac{e^x}{1+e^x}\right)\): χρειάζεται \(\dfrac{e^x}{1+e^x}>0\). Επειδή \(e^x>0\) και \(1+e^x>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), έχουμε \(\dfrac{e^x}{1+e^x}>0\) για κάθε \(x\in\mathbb{R}\).

Άρα \( D_g = \mathbb{R} \)

Συνεπώς, \( D_f = D_g = \mathbb{R} \) ✓

2. Έλεγχος αν δίνουν την ίδια τιμή

υπολογίζουμε το \(g(x)\):

\( g(x) = \ln\!\left(\dfrac{e^x}{1+e^x}\right) \)

Χρησιμοποιώ την ιδιότητα \( \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b \)

\( g(x) = \ln(e^x) - \ln(1+e^x) \)

Επειδή \( \ln(e^x) = x \)

\( g(x) = x - \ln(1+e^x) \)

\( g(x) = f(x) \)

Άρα για κάθε \(x\in\mathbb{R}\), έχουμε \(f(x)=g(x)\)!

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Οι δύο συναρτήσεις έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και δίνουν τις ίδιες τιμές για κάθε \(x \in \mathbb{R}\).

\( f(x) = g(x) \)

Άρα οι συναρτήσεις \(f\) και \(g\) είναι ίσες!

🎉

Τέλεια! \( f = g \)!