Συνέχεια Συνάρτησης & Θεωρήματα
Διαδραστικό μάθημα — Γ' Λυκείου
0 / 5 ενότητες
1. Ορισμός συνέχειας
Συνέχεια σε σημείο
Η $f$ είναι συνεχής στο $x_0 \in D_f$ όταν:
$$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).$$
Ισοδύναμα πρέπει να ισχύουν και τα τρία: (1) ορίζεται η $f(x_0)$, (2) υπάρχει το $\lim_{x\to x_0}f(x)$, (3) οι δύο τιμές συμπίπτουν.
Συνέχεια σε διάστημα
Η $f$ λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα $(\alpha,\beta)$ όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του. Σε κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$ απαιτούμε επιπλέον συνέχεια «από τη μία πλευρά» στα άκρα:
$$\lim_{x\to \alpha^+} f(x) = f(\alpha), \qquad \lim_{x\to \beta^-} f(x) = f(\beta).$$
Πράξεις συνεχών συναρτήσεων
Αν $f,g$ συνεχείς στο $x_0$, τότε είναι συνεχείς στο $x_0$ και οι: $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $\dfrac{f}{g}$ (όταν $g(x_0)\ne0$), καθώς και η σύνθεση $f\circ g$ (υπό τις κατάλληλες προϋποθέσεις πεδίου ορισμού).
Παράδειγμα
Η $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\ne1\\ 2, & x=1\end{cases}$ έχει $\lim_{x\to1}f(x)=2=f(1)$, άρα είναι συνεχής στο $x_0=1$.
Έλεγξε τις γνώσεις σου
1. Ποιες τρεις συνθήκες πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα για συνέχεια στο $x_0$;
2. Αν $f,g$ είναι συνεχείς στο $x_0$ και $g(x_0)=0$, τότε η $\dfrac{f}{g}$ στο $x_0$:
2. Θεώρημα Bolzano
Θεώρημα Bolzano
Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και $f(\alpha)\cdot f(\beta) < 0$ (δηλαδή τα $f(\alpha), f(\beta)$ είναι ετερόσημα), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0 \in (\alpha,\beta)$ με $f(x_0)=0$.
Γεωμετρική ερμηνεία
Αν η γραφική παράσταση ξεκινά κάτω από τον άξονα $x'x$ και καταλήγει πάνω από αυτόν (ή αντίστροφα) χωρίς «άλμα» (λόγω συνέχειας), τότε αναγκαστικά τον τέμνει κάπου ενδιάμεσα.
Παράδειγμα εφαρμογής
Έστω $f(x) = x^3 - 3x + 1$ στο $[0,1]$. Η $f$ είναι συνεχής (πολυωνυμική) και:
$$f(0) = 1 > 0, \qquad f(1) = 1-3+1 = -1 < 0.$$
Αφού $f(0)\cdot f(1) = -1 < 0$, από το Θ. Bolzano υπάρχει $x_0\in(0,1)$ με $f(x_0)=0$ — δηλαδή η εξίσωση $x^3-3x+1=0$ έχει ρίζα στο $(0,1)$.
Προσοχή
Το θεώρημα εγγυάται ύπαρξη ρίζας, όχι μοναδικότητα, και δεν λέει τίποτα αν η υπόθεση δεν ικανοποιείται (μπορεί να υπάρχει ρίζα ακόμη κι όταν $f(\alpha)\cdot f(\beta) > 0$, απλώς δεν το εγγυάται το θεώρημα).
Έλεγξε τις γνώσεις σου
1. Ποια είναι απαραίτητη προϋπόθεση για να εφαρμόσουμε το Θ. Bolzano σε $[\alpha,\beta]$;
2. Αν $f(1)=-2$ και $f(4)=3$ και η $f$ συνεχής στο $[1,4]$, τότε:
3. Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών (Θ.Ε.Τ.)
Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών
Αν η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και $f(\alpha)\ne f(\beta)$, τότε για κάθε αριθμό $\eta$ ανάμεσα στα $f(\alpha)$ και $f(\beta)$, υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_0\in(\alpha,\beta)$ με $f(x_0)=\eta$.
Σχέση με το Θ. Bolzano
Το Θ.Ε.Τ. είναι ουσιαστικά γενίκευση του Θ. Bolzano: αντί να ψάχνουμε πού μηδενίζεται η $f$ (τιμή $\eta=0$), ψάχνουμε πού παίρνει οποιαδήποτε ενδιάμεση τιμή $\eta$. Αν εφαρμόσουμε το Θ.Ε.Τ. στη συνάρτηση $g(x)=f(x)-\eta$ παίρνουμε ακριβώς το Θ. Bolzano.
Παράδειγμα εφαρμογής
Έστω $f$ συνεχής στο $[0,2]$ με $f(0)=1$ και $f(2)=7$. Επειδή $3$ βρίσκεται ανάμεσα στο $1$ και το $7$, το Θ.Ε.Τ. εγγυάται ότι υπάρχει $x_0\in(0,2)$ με $f(x_0)=3$.
Έλεγξε τις γνώσεις σου
1. Το Θ.Ε.Τ. σε σχέση με το Θ. Bolzano είναι:
2. Αν $f$ συνεχής στο $[1,5]$, $f(1)=2$, $f(5)=10$, υπάρχει $x_0$ με $f(x_0)=6$;
4. Θεώρημα Μέγιστης & Ελάχιστης Τιμής (Θ.Μ.Ε.Τ.)
Θεώρημα Μέγιστης - Ελάχιστης Τιμής
Αν η $f$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$, τότε η $f$ παίρνει στο $[\alpha,\beta]$ μια μέγιστη τιμή $M$ και μια ελάχιστη τιμή $m$. Δηλαδή υπάρχουν $x_1,x_2\in[\alpha,\beta]$ με $f(x_1)=m \le f(x)\le M=f(x_2)$ για κάθε $x\in[\alpha,\beta]$.
Πόρισμα (σύνολο τιμών)
Συνδυάζοντας το Θ.Μ.Ε.Τ. με το Θ.Ε.Τ., αν η $f$ είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$, τότε το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα $[m,M]$ — παίρνει δηλαδή όλες τις τιμές ανάμεσα στην ελάχιστη και τη μέγιστη.
Γιατί χρειάζεται κλειστό διάστημα
Οι υποθέσεις (κλειστό $[\alpha,\beta]$ και συνέχεια) είναι απαραίτητες: π.χ. η $f(x)=\frac1x$ στο ανοικτό $(0,1)$ είναι συνεχής αλλά δεν έχει μέγιστη τιμή (τείνει στο $+\infty$ καθώς $x\to 0^+$).
Έλεγξε τις γνώσεις σου
1. Το Θ.Μ.Ε.Τ. απαιτεί η $f$ να είναι συνεχής σε:
2. Αν $f$ συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ με ελάχιστη τιμή $m=2$ και μέγιστη $M=9$, το σύνολο τιμών της είναι:
5. Σύνοψη & τυπικές εφαρμογές
Πότε χρησιμοποιώ ποιο θεώρημα
• Bolzano: για να δείξω ότι μια εξίσωση $f(x)=0$ έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε διάστημα.• Θ.Ε.Τ.: για να δείξω ότι η $f$ παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή $\eta$ (όχι απαραίτητα $0$) σε διάστημα.
• Θ.Μ.Ε.Τ.: για να βρω/αποδείξω ύπαρξη μέγιστης-ελάχιστης τιμής, ή για να προσδιορίσω το σύνολο τιμών σε κλειστό διάστημα.
Σύνθετο παράδειγμα
Έστω $f$ συνεχής στο $[0,3]$, με $f(0)=-1$, $f(3)=5$. Τότε:
1) Από Bolzano: αφού $f(0)\cdot f(3)<0 br="">2) Από Θ.Ε.Τ.: για κάθε $\eta\in(-1,5)$ υπάρχει $x_0$ με $f(x_0)=\eta$ (π.χ. $\eta=2$).
3) Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι αυτές είναι η ελάχιστη/μέγιστη τιμή της στο $[0,3]$, τότε (Θ.Μ.Ε.Τ. + πόρισμα) το σύνολο τιμών της είναι ακριβώς $[-1,5]$.
Συχνό λάθος
Να μην ξεχνάς να αναφέρεις ρητά στη λύση σου ότι η $f$ είναι συνεχής στο κατάλληλο διάστημα — είναι απαραίτητη υπόθεση και για τα τρία θεωρήματα, και οι βαθμολογητές το ζητούν ρητά.
Τελικό κουίζ σύνοψης
1. Θέλω να αποδείξω ότι η εξίσωση $x^5+x-1=0$ έχει ρίζα στο $(0,1)$. Ποιο θεώρημα εφαρμόζω;
2. Θέλω να βρω το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης σε κλειστό διάστημα. Ποιο θεώρημα/πόρισμα χρειάζομαι;
🎓 Ολοκλήρωσες το μάθημα!
Κάλυψες τον ορισμό της συνέχειας και τα τρία βασικά θεωρήματα: Bolzano, Ενδιάμεσων Τιμών και Μέγιστης-Ελάχιστης Τιμής.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου