Θεωρία Μαθηματικών
Γ΄ Λυκείου
Γενικό Μέρος Συναρτήσεων
Έστω $A$ ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}$. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $A$ μία διαδικασία (κανόνα) $f$, με την οποία κάθε στοιχείο $x \in A$ αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό $y$. Το $y$ ονομάζεται τιμή της $f$ στο $x$ και συμβολίζεται με $f(x)$.
Γράφουμε: $f: A \to \mathbb{R},\quad x \mapsto f(x)$
Το $x$ λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, το $y = f(x)$ εξαρτημένη μεταβλητή.
Το πεδίο ορισμού $A$ συμβολίζεται συνήθως με $D_f$.
Σύνολο τιμών της $f$ λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της $f$ σε όλα τα $x \in A$:
Εννοούμε ότι το σύνολο $B$ είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της και $f(B) = \{y \mid y = f(x) \text{ για κάποιο } x \in B\}$.
Γραφική παράσταση της $f$ λέμε το σύνολο των σημείων $M(x, f(x))$ με $x \in A$, δηλαδή $C_f = \{M(x, f(x)) \mid x \in A\}$.
• Η $C_f$ συμβολίζεται με $C_f$. Κάθε κατακόρυφη ευθεία τέμνει τη $C_f$ το πολύ σε ένα σημείο.
• Η $-f$ έχει $C_{-f}$ συμμετρική της $C_f$ ως προς τον άξονα $x'x$.
• Η $|f|$ προκύπτει κρατώντας τα τμήματα πάνω από τον $x'x$ και «αναδιπλώνοντας» τα κάτω τμήματα.
Δύο συναρτήσεις $f$ και $g$ λέγονται ίσες ($f = g$) όταν: έχουν ίδιο πεδίο ορισμού $A_f = A_g = A$, και για κάθε $x \in A$ ισχύει $f(x) = g(x)$.
$(fg)(x) = f(x)g(x),\quad \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$
$D_{f+g} = D_{f-g} = D_{fg} = A \cap B$
$D_{f/g} = \{x \in A \cap B \mid g(x) \neq 0\}$
Ονομάζουμε σύνθεση της $f$ με την $g$, συμβολίζουμε $g \circ f$, τη συνάρτηση:
Πεδίο ορισμού: $A_1 = \{x \in A \mid f(x) \in B\}$, ορίζεται αν $f(A) \cap B \neq \emptyset$.
Γενικά $g \circ f \neq f \circ g$.
Για $f(x) = \ln x$, $x \in (0,+\infty)$ και $g(x) = \sqrt{x}$, $x \in [0,+\infty)$: $g \circ f \neq f \circ g$.
Η $f$ λέγεται γνησίως αύξουσα στο $\Delta$ όταν: για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in \Delta$ με $x_1 < x_2$ ισχύει $f(x_1) < f(x_2)$.
Η $f$ λέγεται γνησίως φθίνουσα στο $\Delta$ όταν: για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in \Delta$ με $x_1 < x_2$ ισχύει $f(x_1) > f(x_2)$.
Αν $f$ γνησίως αύξουσα: $x_1 < x_2 \Leftrightarrow f(x_1) < f(x_2)$
Αν $f$ γνησίως φθίνουσα: $x_1 < x_2 \Leftrightarrow f(x_1) > f(x_2)$
Παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο $f(x_0)$ στο $x_0 \in A$ όταν $f(x) \leq f(x_0)$ για κάθε $x \in A$.
Παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο $f(x_0)$ στο $x_0 \in A$ όταν $f(x) \geq f(x_0)$ για κάθε $x \in A$.
Μια συνάρτηση $f: A \to \mathbb{R}$ λέγεται $1$-$1$ όταν: για οποιαδήποτε $x_1, x_2 \in A$, αν $x_1 \neq x_2$ τότε $f(x_1) \neq f(x_2)$.
Ισοδύναμα: αν $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$.
Κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη $C_f$ το πολύ σε ένα σημείο.
Αν $f$ γνησίως μονότονη $\Rightarrow$ $f$ είναι $1$-$1$ (το αντίστροφο δεν ισχύει γενικά).
α) Μια συνάρτηση $f: A \to \mathbb{R}$ αντιστρέφεται όταν είναι $1$-$1$.
β) Η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}: f(A) \to A$ ορίζεται από:
• $f^{-1}(f(x)) = x$ για κάθε $x \in A$ και $f(f^{-1}(y)) = y$ για κάθε $y \in f(A)$.
• Οι $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y = x$.
• $f^{-1}(x) = x \Leftrightarrow f(x) = x$.
Όρια Συναρτήσεων
$\lim_{x\to x_0}f(x) = l \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0}(f(x)-l)=0 \Leftrightarrow \lim_{h\to 0}f(x_0+h)=l$
$\lim_{x\to x_0} x = x_0$, $\quad \lim_{x\to x_0} c = c$
Αν $\lim_{x\to x_0}f(x)>0$, τότε $f(x)>0$ κοντά στο $x_0$. (Αντιστρόφως για αρνητικό.)
Αν $f(x) \leq g(x)$ κοντά στο $x_0$ τότε $\lim_{x\to x_0}f(x) \leq \lim_{x\to x_0}g(x)$.
$\lim(kf) = k\lim f$
$\lim(f\cdot g) = \lim f \cdot \lim g$
$\lim(f/g) = \lim f/\lim g\;(\lim g \neq 0)$
$\lim [f(x)]^\nu = [\lim f(x)]^\nu,\; \nu\in\mathbb{N}^*$
Αν $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ κοντά στο $x_0$ και $\lim h = \lim g = l$, τότε $\lim f = l$.
α) $\sin x \leq x$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ (ισότητα μόνο για $x=0$)
β) $\ln x \leq x-1$ για κάθε $x>0$ (ισότητα μόνο για $x=1$)
γ) $e^x \geq x+1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ (ισότητα μόνο για $x=0$)
δ) $e^x \geq x+1 > x > x-1 \geq \ln x$ για $x>0$
$\lim_{x\to x_0}P(x) = \lim_{x\to x_0}(a_n x^n + \cdots + a_0) = a_n\lim x^n + \cdots + a_0 = a_n x_0^n + \cdots + a_0 = P(x_0)$.
Αντιστοίχως για ρητή συνάρτηση $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ με $Q(x_0)\neq 0$: $\lim_{x\to x_0}\dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{P(x_0)}{Q(x_0)}$.
$\lim f = +\infty \Leftrightarrow \lim^- f = \lim^+ f = +\infty$
Αν $\lim f = +\infty$ ή $-\infty$, τότε $\lim\dfrac{1}{f} = 0$.
Αν $\lim f = 0$ και $f>0$ κοντά στο $x_0$, τότε $\lim\dfrac{1}{f} = +\infty$.
$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2\nu}} = +\infty$, $\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x^{2\nu+1}} = +\infty$, $\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x^{2\nu+1}} = -\infty$
$\infty - \infty, \quad 0 \cdot \infty, \quad \frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}$
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου