Διαγώνισμα στα Πολυώνυμα Β Λυκείου

Β΄ Λυκείου  ·  Άλγεβρα Γενικής Παιδείας

Διαγώνισμα στα Πολυώνυμα

Κεφάλαιο: Πολυώνυμα

Σχολικό Έτος 2025–2026

Θέμα Α

Α1. Τι ονομάζουμε πολυώνυμο βαθμού $n$; Πότε δύο πολυώνυμα θεωρούνται ίσα; 10 μον.

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα της Ευκλείδειας Διαίρεσης πολυωνύμων. 5 μον.

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ): 10 μον.

1. 1.Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.ΣΛ
2. 2.Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου $P(x)$ με το $x - \rho$ είναι ίσο με $P(\rho)$.ΣΛ
3. 3.Ένα πολυώνυμο βαθμού $n$ μπορεί να έχει το πολύ $n+1$ πραγματικές ρίζες.ΣΛ
4. 4.Αν το $x-1$ είναι παράγοντας του $P(x)$, τότε το άθροισμα των συντελεστών του $P(x)$ είναι ίσο με $0$.ΣΛ
5. 5.Η εξίσωση $x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ έχει απαραίτητα μία τουλάχιστον ακέραια ρίζα.ΣΛ

---

Θέμα Β

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = x^3 + \alpha x^2 + \beta x + 2$.

Β1. Αν το $P(x)$ έχει ρίζα το $x = 1$ και το υπόλοιπο της διαίρεσης του $P(x)$ με το $x - 2$ είναι ίσο με $4$, να βρείτε τις τιμές των $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. 12 μον.

Β2. Για $\alpha = -4$ και $\beta = 1$: 13 μον.

1. 1.Να κάνετε τη διαίρεση $P(x) \div (x^2 - 1)$ και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης.
2. 2.Να λύσετε την εξίσωση $P(x) = 0$.

---

Θέμα Γ

Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$.

Γ1. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της $f$ με τον άξονα $x'x$. 10 μον.

Γ2. Να λύσετε την ανίσωση $f(x) < 0$. 8 μον.

Γ3. Να εξετάσετε αν ο αριθμός $x = \dfrac{1}{2}$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $Q(x) = f(x) - 2x + 1$. 7 μον.

---

Θέμα Δ

Έστω το πολυώνυμο $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + \alpha x + \beta$.

Δ1. Να βρείτε τα $\alpha, \beta$ ώστε το $P(x)$ να έχει παράγοντα το $(x-1)^2$. 15 μον.

Δ2. Για $\alpha = 0$ και $\beta = 0$, να λύσετε την ανίσωση $\dfrac{P(x)}{x - 2} \leq 0$. 10 μον.

— Καλή Επιτυχία! —