1ο Τεστ Συνέχεια Συνάρτησης

Θεωρία Μαθηματικών  ·  Γ′ Λυκείου

Διαγώνισμα Θεωρίας Μαθηματικών

Ενότητα: Συνέχεια Συνάρτησης

Θέμα Α

A1. Ορισμός

Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της;

A2. Απόδειξη

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

• η f είναι συνεχής στο [α, β] και
• f(α) ≠ f(β)

να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον x₀ ∈ (α, β) τέτοιος, ώστε f(x₀) = η.

✦

Θέμα Β

Οδηγία

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ):

1. Αν η f είναι συνεχής στο x₀, τότε το lim_x→x₀f(x) υπάρχει και είναι ίσο με το f(x₀).
2. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και f(α) · f(β) > 0, τότε η f δεν έχει ρίζες στο (α, β).
3. Η εικόνα ενός ανοικτού διαστήματος (α, β) μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι πάντα ανοικτό διάστημα.
4. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], τότε η συνάρτηση g(x) = |f(x)| είναι επίσης συνεχής στο [α, β].
5. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], τότε η f παίρνει υποχρεωτικά μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m.
6. Κάθε συνεχής συνάρτηση f : Δ → ℝ που δεν μηδενίζεται στο διάστημα Δ διατηρεί πρόσημο στο Δ.
7. Το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών ισχύει και αν η f είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα (α, β), αρκεί να είναι συνεχής.
8. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο ℝ και το σύνολο τιμών της είναι το ℝ, τότε η f είναι υποχρεωτικά γνησίως μονότονη.
9. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], το σύνολο τιμών της είναι το κλειστό διάστημα [m, M], όπου m η ελάχιστη και M η μέγιστη τιμή της.
10. Αν υπάρχει το lim_x→x₀f(x), τότε η f είναι πάντα συνεχής στο x₀.

Γ′ Λυκείου  ·  Μαθηματικά Συνέχεια Συνάρτησης Σελίδα 1 / 1