Διαγώνισμα Μαθηματικών Β΄ Γυμνασίου
Εξισώσεις α΄ βαθμού
Να γράψετε στο γραπτό σας όλα τα βήματα της λύσης και να αιτιολογείτε τις απαντήσεις σας. Καλή επιτυχία!
Α1. [6 μ.] Να συμπληρώσετε τα κενά: Η εξίσωση \(\alpha x=\beta\), με \(\alpha\neq0\), έχει μία ακριβώς λύση, την \(x=\) . Αν \(\alpha=0\) και \(\beta\neq0\), η εξίσωση είναι , ενώ αν \(\alpha=0\) και \(\beta=0\), η εξίσωση είναι και έχει λύσεις.
Α2. [10 μ.] Να γράψετε δίπλα σε κάθε πρόταση το γράμμα Σ αν είναι σωστή ή Λ αν είναι λανθασμένη.
- Ο αριθμός \(3\) είναι λύση της εξίσωσης \(2x-1=5\). ()
- Όταν μεταφέρουμε έναν όρο από το ένα μέλος μιας εξίσωσης στο άλλο, αλλάζουμε το πρόσημό του. ()
- Η εξίσωση \(0\cdot x=7\) έχει άπειρες λύσεις. ()
- Οι εξισώσεις \(x+2=5\) και \(2x=6\) έχουν την ίδια λύση. ()
- Η εξίσωση \(5x-5=5(x-1)\) είναι αδύνατη. ()
Α3. [9 μ.] Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε ερώτηση.
- Η λύση της εξίσωσης \(5x-7=3x+1\) είναι:
α) \(x=2\)β) \(x=-4\)γ) \(x=4\)δ) \(x=-2\)
- Η εξίσωση \(3x+2=3x+5\) είναι:
α) ταυτότηταβ) αδύνατηγ) έχει λύση \(x=0\)δ) έχει λύση \(x=1\)
- Η λύση της εξίσωσης \(\dfrac{x}{2}+3=5\) είναι:
α) \(x=4\)β) \(x=8\)γ) \(x=1\)δ) \(x=16\)
Λύσεις Θέματος Α
Α1. \(x=\dfrac{\beta}{\alpha}\) | αδύνατη (δεν έχει καμία λύση) | ταυτότητα (αληθεύει για κάθε \(x\)) και έχει άπειρες λύσεις. (2 μ. ανά κενό)
Α2. 1-Σ (\(2\cdot3-1=5\)), 2-Σ, 3-Λ (είναι αδύνατη), 4-Σ (και οι δύο έχουν λύση \(x=3\)), 5-Λ (είναι ταυτότητα). (2 μ. ανά απάντηση)
Α3. 1-γ (\(2x=8\Rightarrow x=4\)), 2-β (\(0x=3\)), 3-α (\(\tfrac{x}{2}=2\Rightarrow x=4\)). (3 μ. ανά απάντηση)
Β1. [13 μ.] Να λύσετε τις εξισώσεις:
(α) \(3(x-2)-5=2(x+1)+4\) (6 μ.)
(β) \(\dfrac{x-1}{2}-\dfrac{2x+1}{3}=1\) (7 μ.)
Β2. [6 μ.] Να εξετάσετε αν καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις είναι ταυτότητα ή αδύνατη:
(α) \(2(x+3)=2x+5\) (3 μ.)
(β) \(4(x-1)+2=4x-2\) (3 μ.)
Β3. [6 μ.] Δίνεται η εξίσωση \(3x-\lambda=2x+5\), όπου \(\lambda\) πραγματικός αριθμός.
(α) Να βρείτε την τιμή του \(\lambda\), ώστε η εξίσωση να έχει λύση τον αριθμό \(x=4\). (4 μ.)
(β) Για την τιμή του \(\lambda\) που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση και να επαληθεύσετε το αποτέλεσμά σας. (2 μ.)
Λύσεις Θέματος Β
Β1 (α)
\[\begin{aligned}3(x-2)-5&=2(x+1)+4\\ 3x-6-5&=2x+2+4\\ 3x-11&=2x+6\\ 3x-2x&=6+11\\ x&=17\end{aligned}\]Επαλήθευση: \(3\cdot15-5=40=2\cdot18+4\). (Παρενθέσεις 2 μ., χωρισμός 2 μ., αναγωγή και λύση 2 μ.)
Β1 (β) ΕΚΠ\((2,3)=6\):
\[\begin{aligned}6\cdot\frac{x-1}{2}-6\cdot\frac{2x+1}{3}&=6\cdot1\\ 3(x-1)-2(2x+1)&=6\\ 3x-3-4x-2&=6\\ -x-5&=6\\ -x&=11\\ x&=-11\end{aligned}\](Απαλοιφή παρονομαστών 2 μ., προσοχή στα πρόσημα 2 μ., χωρισμός και λύση 3 μ.)
Β2 (α) \(2x+6=2x+5\Rightarrow 0x=-1\): αδύνατη. (3 μ.)
Β2 (β) \(4x-4+2=4x-2\Rightarrow 4x-2=4x-2\Rightarrow 0x=0\): ταυτότητα. (3 μ.)
Β3 (α) Για \(x=4\): \(3\cdot4-\lambda=2\cdot4+5\Rightarrow 12-\lambda=13\Rightarrow \lambda=-1\). (4 μ.)
Β3 (β) Για \(\lambda=-1\): \(3x+1=2x+5\Rightarrow x=4\), άρα η λύση είναι πράγματι \(x=4\). (2 μ.)
Γ1. [8 μ.] Το άθροισμα τριών διαδοχικών ακεραίων αριθμών είναι \(84\). Να βρείτε τους αριθμούς.
Γ2. [8 μ.] Η περίμετρος ενός ορθογωνίου είναι \(46\) cm και το μήκος του είναι κατά \(5\) cm μεγαλύτερο από το πλάτος του. Να βρείτε τις διαστάσεις και το εμβαδόν του ορθογωνίου.
Γ3. [9 μ.] Ο Νίκος είναι τετραπλάσιας ηλικίας από την κόρη του, τη Μαρία. Μετά από \(6\) χρόνια, η ηλικία του Νίκου θα είναι τριπλάσια από την ηλικία της Μαρίας. Να βρείτε τις σημερινές ηλικίες τους.
Λύσεις Θέματος Γ
Γ1. Αριθμοί: \(x,\ x+1,\ x+2\) (2 μ.). Εξίσωση: \(x+(x+1)+(x+2)=84\Rightarrow 3x+3=84\Rightarrow 3x=81\Rightarrow x=27\) (5 μ.). Οι αριθμοί είναι 27, 28, 29 (1 μ.). Έλεγχος: \(27+28+29=84\).
Γ2. Πλάτος \(x\) cm, μήκος \((x+5)\) cm (2 μ.). Περίμετρος: \(2\,[x+(x+5)]=46\Rightarrow 4x+10=46\Rightarrow 4x=36\Rightarrow x=9\) (4 μ.). Πλάτος \(9\) cm, μήκος \(14\) cm, εμβαδόν \(E=9\cdot14=\mathbf{126\ cm^2}\) (2 μ.).
Γ3. Μαρία: \(x\) ετών, Νίκος: \(4x\) ετών (2 μ.). Μετά από 6 χρόνια: \(x+6\) και \(4x+6\) (2 μ.). Εξίσωση: \(4x+6=3(x+6)\Rightarrow 4x+6=3x+18\Rightarrow x=12\) (4 μ.). Η Μαρία είναι 12 ετών και ο Νίκος 48 ετών (1 μ.). Έλεγχος: \(54=3\cdot18\).
Δ1. [10 μ.] Να λύσετε την εξίσωση \(\dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{x-5}{6}+\dfrac12\).
Δ2. [15 μ.] Ένας μαθητής ξόδεψε το \(\dfrac13\) των χρημάτων του για βιβλία και τα \(\dfrac25\) του υπόλοιπου ποσού για τετράδια. Μετά τις αγορές του έμειναν \(12\) €.
(α) Αν \(x\) είναι τα αρχικά χρήματα του μαθητή (σε €), να εκφράσετε ως συνάρτηση του \(x\) το ποσό που ξόδεψε για βιβλία και το ποσό που ξόδεψε για τετράδια. (5 μ.)
(β) Να βρείτε πόσα χρήματα είχε αρχικά ο μαθητής. (10 μ.)
Λύσεις Θέματος Δ
Δ1. ΕΚΠ\((3,4,6,2)=12\):
\[\begin{aligned}4(2x-1)-3(x+2)&=2(x-5)+6\\ 8x-4-3x-6&=2x-10+6\\ 5x-10&=2x-4\\ 3x&=6\\ x&=2\end{aligned}\](Απαλοιφή παρονομαστών 3 μ., παρενθέσεις 3 μ., χωρισμός και λύση 4 μ.) Επαλήθευση: αριστερό μέλος \(1-1=0\), δεξιό μέλος \(-\tfrac12+\tfrac12=0\).
Δ2 (α) Βιβλία: \(\dfrac{x}{3}\) € (1 μ.). Υπόλοιπο: \(x-\dfrac{x}{3}=\dfrac{2x}{3}\) € (2 μ.). Τετράδια: \(\dfrac25\cdot\dfrac{2x}{3}=\dfrac{4x}{15}\) € (2 μ.).
Δ2 (β) Εξίσωση: \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{4x}{15}+12=x\) (3 μ.). ΕΚΠ\((3,15)=15\):
\[\begin{aligned}5x+4x+180&=15x\\ 9x+180&=15x\\ 180&=6x\\ x&=30\end{aligned}\]Ο μαθητής είχε αρχικά 30 € (7 μ. για επίλυση και απάντηση). Έλεγχος: \(10+8+12=30\).
Σημείωση βαθμολόγησης: κάθε ισοδύναμος και σωστός τρόπος επίλυσης βαθμολογείται πλήρως. Για αριθμητικό λάθος χωρίς συνέπεια στη μέθοδο αφαιρείται 1 μονάδα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου