Θεωρία Άλγεβρα Β Λυκείου

Μαθηματικά Β΄ Λυκείου — Άλγεβρα

✦

Αναζητώντας το 1^ο Θέμα Ερωτήσεις Σωστού – Λάθους & Αποδείξεις

Β΄ Λυκείου · Άλγεβρα · 52 ερωτήσεις & 9 αποδείξεις

anexitilo.net

Για κάθε πρόταση σημειώστε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος). Οι απαντήσεις παρατίθενται στο τέλος.

Α΄ Μέρος

Ερωτήσεις Σωστού – Λάθους

Από εξετάσεις προηγουμένων ετών

1. 1. Η συνάρτηση $f(x)=\ln x$ έχει σύνολο τιμών το $(0,+\infty)$. Λ
2. 2. Η συνάρτηση $f(x)=\ln x$ έχει πεδίο ορισμού το $(0,+\infty)$. Σ
3. 3. Κάθε μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό μηδέν. Λ
4. 4. Κάθε σταθερό και μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό μηδέν. Σ
5. 5. Όλα τα σταθερά πολυώνυμα έχουν βαθμό μηδέν. Λ
6. 6. Ισχύει $\ln\dfrac{1}{e} = -1$. Σ
7. 7. Αν για το πολυώνυμο $P(x)$ είναι $P(\rho) \neq 0$, τότε το $P(x)$ δεν έχει παράγοντα το $x-\rho$. Σ
8. 8. Η εξίσωση $\cos x = a$ με $|a| \leq 1$ έχει άπειρες ρίζες. Λ
9. 9. Ισχύει $\ln(\theta_1 \cdot \theta_2) = \ln\theta_1 + \ln\theta_2$, με $\theta_1, \theta_2 > 0$. Σ
10. 10. Αν ο διαιρέτης σε μια διαίρεση πολυωνύμων είναι δευτέρου βαθμού τότε το υπόλοιπο έχει πάντα βαθμό το πολύ ένα. Λ
11. 11. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση $a_\nu x^\nu + \cdots + a_0 = 0$ με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος $\rho \neq 0$ είναι ρίζα, τότε ο $\rho$ είναι διαιρέτης του $a_0$. Σ
12. 12. Η εκθετική συνάρτηση $f(x) = a^x$ με $a > 1$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$. Λ
13. 13. Αν $0 < a \neq 1$, τότε για $\theta_1, \theta_2 > 0$ ισχύει $\log_a \dfrac{\theta_1}{\theta_2} = \log_a\theta_1 - \log_a\theta_2$. Σ
14. 14. Αν σε ένα πολυώνυμο $P(x)$ ο αριθμός $\rho$ είναι ρίζα, τότε το $x + \rho$ είναι παράγοντας του $P(x)$. Λ
15. 15. Αν σε ένα πολυώνυμο $P(x)$ ο αριθμός $-\rho$ είναι ρίζα, τότε το $x + \rho$ είναι παράγοντας του $P(x)$. Σ
16. 16. Ισχύει $\log_a\theta = x \Leftrightarrow a^x = \theta$, με $a > 0$, $a \neq 1$, $\theta > 0$. Σ
17. 17. Ισχύει $\ln\theta = x \Leftrightarrow e^x = \theta$, με $\theta > 0$. Σ
18. 18. Αν μία συνάρτηση είναι άρτια, τότε η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Λ
19. 19. Αν μία συνάρτηση είναι περιττή, τότε η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων. Σ
20. 20. Αν μία συνάρτηση είναι άρτια, τότε η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα $y'y$. Σ
21. 21. Αν η συνάρτηση $f$ είναι περιττή και έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$, τότε ισχύει $f(5)+f(-5)=0$. Σ
22. 22. Αν η συνάρτηση $f$ είναι περιττή, τότε ισχύει πάντα $f(0)=0$. Σ
23. 23. Αν η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα και έχει πεδίο ορισμού το $\mathbb{R}$, τότε ισχύει $f(5)>f(2)$. Λ
24. 24. Η γραφική παράσταση της $g(x)=f(x-2)$ προκύπτει από τη γραφική παράσταση της $f$ με μετατόπιση κατά 2 μονάδες αριστερά. Λ
25. 25. Η γραφική παράσταση της $g(x)=f(x+3)$ προκύπτει από τη γραφική παράσταση της $f$ με μετατόπιση κατά 3 μονάδες αριστερά. Σ
26. 26. Η γραφική παράσταση της $g(x)=f(x)-2$ προκύπτει από τη γραφική παράσταση της $f$ με μετατόπιση κατά 2 μονάδες κάτω. Σ
27. 27. Αν η συνάρτηση $f$ έχει μέγιστο το 3, τότε $f(x) \geq 3$. Λ
28. 28. Αν η συνάρτηση $f$ έχει μέγιστο το 3, τότε η συνάρτηση $g(x)=f(x)+5$ έχει μέγιστο το 8. Σ
29. 29. Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης λέγονται ακρότατα αυτής. Σ
30. 30. Ισχύει $\sin(180°-\omega) = \sin\omega$. Σ
31. 31. Ισχύει $\cos(180°-\omega) = \cos\omega$. Λ
32. 32. Ισχύει $\sin(-\omega) = -\sin\omega$. Σ
33. 33. Ισχύει $\cos(-\omega) = -\cos\omega$. Λ
34. 34. Ισχύει $\tan(90°-\omega) = \cot\omega$. Σ
35. 35. Η εκθετική συνάρτηση $f(x)=e^{-x}$ παίρνει πάντα θετικές τιμές. Σ
36. 36. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\ln x$ διέρχεται από το σημείο $(1,0)$. Σ
37. 37. Οι γραφικές παραστάσεις των $f(x)=\ln x$ και $g(x)=e^x$ είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο $y=x$. Σ
38. 38. Η συνάρτηση $f(x)=10^x$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$. Λ
39. 39. Ισχύει $\ln e^{-k} = -k$. Σ
40. 40. Ισχύει $e^{\ln\kappa} = \kappa$ με $\kappa > 0$. Σ
41. 41. Κάθε συνάρτηση έχει ένα τουλάχιστον ακρότατο. Λ
42. 42. Όταν δύο μη μηδενικά πολυώνυμα είναι ίσα, τότε έχουν το ίδιο βαθμό. Σ
43. 43. Αν σε μια διαίρεση πολυωνύμων το υπόλοιπο δεν είναι 0, τότε έχει βαθμό μικρότερο του βαθμού του διαιρέτη. Σ
44. 44. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου $P(x)$ με το $x+2p$ είναι ίσο με $P(-2p)$. Σ
45. 45. Το πολυώνυμο $P(x) = 2(x-1)^2 - 2x^2 - 5$ είναι $2^{\text{ου}}$ βαθμού. Λ
46. 46. Ισχύει $\log 100 = 2$. Σ
47. 47. Αν το $\rho$ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου, τότε είναι πάντα ρίζα του $P(x)$. Λ
48. 48. Σε μια διαίρεση πολυωνύμων, αν ο διαιρέτης $\delta(x)$ είναι πρώτου βαθμού τότε το υπόλοιπο θα είναι πάντα μηδενικού βαθμού. Λ
49. 49. Εάν το $P(x)$ έχει βαθμό $\nu$ και το $Q(x)$ έχει βαθμό $\mu$, τότε το $P(x)\cdot Q(x)$ έχει βαθμό $\nu+\mu$. Σ
50. 50. Η τιμή ενός πολυωνύμου $P(x)$ για $x=0$ ισούται με τον σταθερό του όρο. Σ
51. 51. Ισχύει πάντα $-1 \leq \sin\omega \leq 1$. Σ
52. 52. Η συνάρτηση $f(x) = 2\sin\dfrac{x}{4}$ έχει περίοδο $T=8\pi$. Σ

✦   ✦   ✦

---

Β΄ Μέρος

Ερωτήσεις Ανάπτυξης — Αποδείξεις

Βασικά θεωρήματα & ιδιότητες που πρέπει να γνωρίζετε

ΘΕΜΑ 1

Να αποδείξετε ότι $\sin^2\omega + \cos^2\omega = 1$.

Απόδειξη Αν $M(x, y)$ είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας $\omega$ τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε: $$x = \cos\omega \quad \text{και} \quad y = \sin\omega.$$ Επειδή $OM = 1$ και $(OM)^2 = x^2 + y^2$, θα ισχύει: $$x^2 + y^2 = 1 \implies \boxed{\sin^2\omega + \cos^2\omega = 1.}$$

□

ΘΕΜΑ 2

Να αποδείξετε ότι $\tan\omega = \dfrac{\sin\omega}{\cos\omega}$ και $\cot\omega = \dfrac{\cos\omega}{\sin\omega}$.

Απόδειξη Έχουμε $x = \cos\omega$ και $y = \sin\omega$. Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών: $$\tan\omega = \frac{y}{x} = \frac{\sin\omega}{\cos\omega} \quad (\cos\omega \neq 0)$$ $$\cot\omega = \frac{x}{y} = \frac{\cos\omega}{\sin\omega} \quad (\sin\omega \neq 0)$$

□

ΘΕΜΑ 3

Να αποδείξετε ότι $\tan\omega \cdot \cot\omega = 1$.

Απόδειξη Είναι $\tan\omega = \dfrac{\sin\omega}{\cos\omega}$ και $\cot\omega = \dfrac{\cos\omega}{\sin\omega}$, οπότε: $$\tan\omega \cdot \cot\omega = \frac{\sin\omega}{\cos\omega} \cdot \frac{\cos\omega}{\sin\omega} = \boxed{1.}$$

□

ΘΕΜΑ 4

Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου $P(x)$ με το $x-\rho$ ισούται με $P(\rho)$.

Απόδειξη Η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: $$P(x) = (x-\rho)\,\pi(x) + \upsilon,$$ όπου $\upsilon$ είναι σταθερό (ο διαιρέτης είναι 1ου βαθμού). Θέτουμε $x = \rho$: $$P(\rho) = (\rho-\rho)\,\pi(\rho) + \upsilon = 0 + \upsilon = \upsilon.$$ Άρα $\boxed{\upsilon = P(\rho)}$.

□

ΘΕΜΑ 5

Να αποδείξετε ότι ένα πολυώνυμο $P(x)$ έχει παράγοντα το $x-\rho$ αν και μόνο αν $P(\rho)=0$.

Απόδειξη ($\Rightarrow$) Αν $P(x) = (x-\rho)\,\pi(x)$, τότε για $x=\rho$: $P(\rho) = 0 \cdot \pi(\rho) = 0$.

($\Leftarrow$) Αν $P(\rho)=0$, από την ταυτότητα διαίρεσης: $$P(x) = (x-\rho)\,\pi(x) + P(\rho) = (x-\rho)\,\pi(x),$$ άρα το $x-\rho$ είναι παράγοντας.

□

ΘΕΜΑ 6

Έστω $a_\nu x^\nu + \cdots + a_0 = 0$ με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος $\rho \neq 0$ είναι ρίζα, να αποδείξετε ότι $\rho \mid a_0$.

Απόδειξη Αφού $\rho$ είναι ρίζα: $$a_\nu\rho^\nu + a_{\nu-1}\rho^{\nu-1} + \cdots + a_1\rho + a_0 = 0.$$ Λύνουμε ως προς $a_0$: $$a_0 = -a_\nu\rho^\nu - \cdots - a_1\rho = \rho\,\underbrace{(-a_\nu\rho^{\nu-1} - \cdots - a_1)}_{\text{ακέραιος}}.$$ Άρα $\rho$ διαιρεί τον $a_0$, δηλαδή $\rho \mid a_0$.

□

ΘΕΜΑ 7

Να αποδείξετε ότι $\log_a(\theta_1\theta_2) = \log_a\theta_1 + \log_a\theta_2$, για $a>0$, $a\neq1$, $\theta_1,\theta_2>0$.

Απόδειξη Έστω $\log_a\theta_1 = x_1 \Leftrightarrow a^{x_1}=\theta_1$ και $\log_a\theta_2 = x_2 \Leftrightarrow a^{x_2}=\theta_2$.

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη: $$a^{x_1}\cdot a^{x_2} = \theta_1\theta_2 \implies a^{x_1+x_2} = \theta_1\theta_2.$$ Από τον ορισμό: $\log_a(\theta_1\theta_2) = x_1+x_2$, άρα: $$\boxed{\log_a(\theta_1\theta_2) = \log_a\theta_1 + \log_a\theta_2.}$$

□

ΘΕΜΑ 8

Να αποδείξετε ότι $\log_a\!\left(\dfrac{\theta_1}{\theta_2}\right) = \log_a\theta_1 - \log_a\theta_2$.

Απόδειξη Με τις ίδιες συμβολισμούς ($a^{x_1}=\theta_1$, $a^{x_2}=\theta_2$), διαιρούμε κατά μέλη: $$\frac{a^{x_1}}{a^{x_2}} = \frac{\theta_1}{\theta_2} \implies a^{x_1-x_2} = \frac{\theta_1}{\theta_2}.$$ Άρα: $$\boxed{\log_a\!\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right) = \log_a\theta_1 - \log_a\theta_2.}$$

□

ΘΕΜΑ 9

Να αποδείξετε ότι $\log_a(\theta^k) = k\log_a\theta$, για $\theta>0$ και $k\in\mathbb{R}$.

Απόδειξη Έστω $\log_a\theta = x \Leftrightarrow a^x = \theta$. Υψώνουμε στην $k$: $$(a^x)^k = \theta^k \implies a^{kx} = \theta^k.$$ Από τον ορισμό: $\log_a(\theta^k) = kx$, άρα: $$\boxed{\log_a(\theta^k) = k\log_a\theta.}$$

□

✦   Απαντήσεις Σωστού – Λάθους   ✦

1Λ

2Σ

3Λ

4Σ

5Λ

6Σ

7Σ

8Λ

9Σ

10Λ

11Σ

12Λ

13Σ

14Λ

15Σ

16Σ

17Σ

18Λ

19Σ

20Σ

21Σ

22Σ

23Λ

24Λ

25Σ

26Σ

27Λ

28Σ

29Σ

30Σ

31Λ

32Σ

33Λ

34Σ

35Σ

36Σ

37Σ

38Λ

39Σ

40Σ

41Λ

42Σ

43Σ

44Σ

45Λ

46Σ

47Λ

48Λ

49Σ

50Σ

51Σ

52Σ

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου ✦ anexitilo.net