Διαγώνισμα Προσομοίωσης Άλγεβρα Α' Λυκείου

Μαθηματική Ομάδα · anexitilo.net Σχ. Έτος 2025–2026

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

Άλγεβρα  ·  Α΄ Τάξη Γενικού Λυκείου

Διάρκεια 2 ώρες

Θέματα Α · Β · Γ · Δ

Βαθμολογία 25 + 25 + 25 + 25

Σύνολο 100 μονάδες

Ονοματεπώνυμο

Τμήμα

Ημερομηνία

Οδηγίες: Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα. Οι απαντήσεις πρέπει να είναι πλήρεις και αιτιολογημένες. Δεν επιτρέπεται η χρήση αριθμομηχανής. Κάθε θέμα βαθμολογείται με 25 μονάδες.

Θέμα Α__ / 25

Θέμα Β__ / 25

Θέμα Γ__ / 25

Θέμα Δ__ / 25

Σύνολο__ / 100

✦ ✦ ✦

Α

Θεωρία & Αποδείξεις 25 μονάδες

• Α1. Να δώσετε τον ορισμό της αριθμητικής προόδου $(a_\nu)$ και να αποδείξετε ότι ο γενικός της όρος δίνεται από τον τύπο: $$a_\nu = a_1 + (\nu - 1)\,\omega$$ 10 μον.
• Α2. Να αποδείξετε ότι, αν $x_1, x_2$ είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης $\alpha x^2 + \beta x + \gamma = 0$, $\alpha \neq 0$, τότε: $$S = x_1 + x_2 = -\frac{\beta}{\alpha} \qquad \text{και} \qquad P = x_1 \cdot x_2 = \frac{\gamma}{\alpha}$$ 15 μον.

· · ·

Β

Τετραγωνικές Εξισώσεις & Τύποι Vieta 25 μονάδες

• Β1. Έστω $\alpha, \beta$ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν $\alpha \cdot \beta = 6$ και $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = 30$.
  • α)Να αποδείξετε ότι $\alpha + \beta = 5$.7 μον.
  • β)Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τα $\alpha, \beta$ και να τους βρείτε.8 μον.
• Β2. Ο 1ος όρος μιας αριθμητικής προόδου $(a_\nu)$ ισούται με $3$ και ο 5ος όρος ισούται με $15$.
  • α)Να βρείτε τη διαφορά $\omega$ της προόδου.5 μον.
  • β)Αν $a_\nu = 4\nu - 1$, να βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με $43$.5 μον.

· · ·

Γ

Τριώνυμο – Παραγοντοποίηση – Πρόσημο 25 μονάδες

• Γ. Δίνεται το τριώνυμο $f(x) = x^2 - (\alpha+2)x + 2\alpha + 1$, $\alpha \in \mathbb{R}$.
  • α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι $\Delta = \alpha^2 - 4$. 5 μον.
  • β) i) Να βρείτε τις τιμές του $\alpha$ για τις οποίες το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.
    ii) Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης $K = (\pi^2 - 4)\cdot(2024^2 - 4)$. 5+3 μον.
  • γ) Για $\alpha = 3$:
    i) Να υπολογίσετε το $S$ και το $P$ του τριωνύμου.
    ii) Να αποδείξετε ότι $x_1^2 + x_2^2 = 7$.
    iii) Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες $f(x) \leq 0$. 4+4+4 μον.

· · ·

Δ

Ανισώσεις & Γεωμετρική Πρόοδος 25 μονάδες

• Δ1. Δίνονται οι ανισώσεις: $$(\text{I}): \; 3x - 2 > x + 4 \qquad \text{και} \qquad (\text{II}): \; x^2 - 5x + 6 \leq 0$$
  • α)Να βρείτε τις λύσεις κάθε ανίσωσης χωριστά.4 μον.
  • β)Να βρείτε τις τιμές του $x$ για τις οποίες και οι δύο ανισώσεις ικανοποιούνται ταυτόχρονα (σύστημα ανισώσεων).4 μον.
  • γ)Αν $\lambda_1, \lambda_2$ (με $\lambda_1 < \lambda_2$) είναι δύο κοινές λύσεις των ανισώσεων, να εξεταστεί αν ο αριθμός $\dfrac{\lambda_1 + \lambda_2}{2}$ είναι επίσης κοινή λύση.4 μον.
• Δ2. Οι αριθμοί $x^2 + x + 2,\; x^2,\; x^2 - x + 6$, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
  • α)Να βρείτε τις δυνατές τιμές του $x$.4 μον.
  • β) Αν $x = 2$ και ο $x^2 + x + 2$ είναι ο 3ος όρος της προόδου:
    i) Να βρείτε τη διαφορά $\omega$ και τον πρώτο όρο $a_1$.
    ii) Να υπολογίσετε το άθροισμα $S = a_{10} + a_{11} + \cdots + a_{20}$. 5+4 μον.

✦

📐 anexitilo.net  ·  Μαθηματική Ομάδα  ·  Άλγεβρα Α΄ Λυκείου Καλή επιτυχία! ✨